« Est-ce que les scientifiques ont déjà essayé de mettre la guerre en équation ? » C’est la question qui m’a été posée, et elle méritait bien un épisode un peu spécial. Aujourd’hui, on va faire des maths. Ne partez pas, je vais tout vous expliquer et vous épargner les calculs fastidieux.
Le sujet du jour : le modèle de Lanchester, proposé en 1916 par Frederick Lanchester, un ingénieur anglais. Il a offert à la postérité des équations qui décrivent l’évolution du nombre de soldats durant une bataille. Des modèles similaires ont vu le jour à peu près à la même époque, mais c’est celui-là qu’on a retenu, alors concentrons-nous dessus. Lanchester a proposé deux modèles.
Un modèle dit linéaire, pas très intéressant, qu’on verra peut-être plus tard pour les extensions, et un modèle dit géométrique, qui nous intéresse aujourd’hui. On va essayer de comprendre ses termes, le sens de ses équations, les conclusions qu’on peut en tirer, mais surtout ses limites. Pour commencer, il faut poser le cadre. Prenons deux camps.
Le camp X, qu’on appellera intelligemment le camp polytechnicien, parce que l’École Polytechnique est surnommée « X » à cause de la variable mathématique par excellence et des canons croisés sur son blason. Très drôle, n’est-ce pas ? On note x(t) le nombre de soldats restants dans le camp polytechnicien au temps t. Si x(t)=3, cela signifie qu’il reste trois polytechniciens à l’instant 3.
x(t) est donc une quantité à un instant précis. À t=0, c’est-à-dire au tout début de la bataille, x(0) représente le nombre de soldats engagés par le camp X. En général, ce nombre va diminuer. En face, on place le camp Y, composé des habitants du village Y, qui se sont opposés aux polytechniciens.
On note y(t) le nombre de soldats du camp Y au temps t, une fonction symétrique à x(t). Il reste donc à déterminer comment x(t) et y(t) diminuent dans le temps. Pour cela, on utilise la dérivée. C’est en gros la vitesse à laquelle une quantité change.
Pour x(t), c’est dx/dt, pour y(t), c’est dy/dt. Si la dérivée est positive, la quantité augmente ; si elle est négative, elle diminue. Dans notre cas, elle sera toujours négative, puisqu’on considère qu’il n’y a pas de renforts et que les soldats ne se reproduisent pas pendant une bataille. Il faut maintenant déterminer la valeur de cette dérivée.
Plus elle est grande, plus le changement est rapide. Logiquement, plus il y a de polytechniciens, plus les soldats du village Y vont mourir rapidement, et symétriquement, plus il y a de soldats Y, plus les polytechniciens vont mourir vite. On peut aussi introduire une idée d’efficacité. Notons « a » l’efficacité des soldats du camp X et « b » celle du camp Y.
Plus « a » est grand, plus les soldats X sont efficaces et tuent rapidement leurs adversaires, pareil pour « b » avec Y. Les équations de Lanchester sont les suivantes : la dérivée de x, c’est-à-dire la vitesse à laquelle x évolue, est égale à -b fois y(t). Symétriquement, la dérivée de y est égale à -a fois x(t). C’est ce qu’on appelle une équation différentielle, avec les fonctions x(t) et y(t).
Pas de panique, on n’a pas besoin de comprendre la théorie fine derrière. On va analyser tranquillement. L’équation dx/dt = -b y(t) nous indique la vitesse d’évolution du nombre de soldats X. Comme ils ne font que disparaître, cette évolution est forcément négative.
Le terme y(t) signifie que plus les soldats Y sont nombreux, plus X va diminuer vite. Mais comme y diminue aussi, x va diminuer de moins en moins vite, et c’est symétrique pour Y avec x(t). Enfin, le terme « b » influe sur la vitesse de diminution de x, plus « b » est grand, plus la chute est rapide. Voilà, ce n’est pas bien compliqué.
Une fois qu’on a ces équations, le nombre de soldats au début et les efficacités, on peut commencer à jouer. Je ne vais pas vous expliquer comment les résoudre, mais ce modèle peut donner des informations. Si on connaît les nombres initiaux x0 et y0, on peut trouver les fonctions solutions. Ces équations permettent de déduire l’évolution du nombre de soldats et le nombre de survivants.
Si on considère qu’une bataille se termine quand un camp n’a plus de soldats, on obtient une expression du nombre de survivants du camp vainqueur. Par exemple, si les polytechniciens gagnent, y(final)=0, et x(final), le nombre de survivants, est égal à la racine carrée de x0² moins (b/a) fois y0². Et si ce sont les Y qui gagnent, on a l’expression symétrique. Évidemment, ce modèle est particulièrement limité, avec des hypothèses très fortes sur le déroulement des combats.
Mais pourquoi je vous en parle ? D’abord parce que vous avez posé la question, ensuite parce que ce modèle a eu un certain nombre d’enfants et son lot de réussites. Mais avant d’en parler, analysons les conséquences mathématiques de ce modèle. Première remarque : l’efficacité des troupes a une influence linéaire sur l’évolution de la bataille, tandis que le surnombre, c’est-à-dire la différence de soldats au début, a une influence au carré.
Autrement dit, doubler votre efficacité au combat double votre capacité de combat, mais doubler votre surnombre la quadruple. Donc il vaut mieux être plus nombreux que plus efficace. Et ça va vite, je vous assure. Prenons un exemple : deux camps de 100 soldats chacun, où les soldats X sont deux fois plus efficaces, donc a=2 et b=1.
Au final, environ 70 soldats X survivent, donc 30 morts. Maintenant, disons qu’ils sont de la même efficacité, a=b=1, mais que X commence avec 200 soldats contre 170 pour Y. Là, on a 173 survivants pour X, donc seulement 27 morts. Vous voyez ?
Avec des chiffres un peu différents, on a déjà sauvegardé trois vies, non pas en doublant l’efficacité mais en doublant le nombre. Et si les Y sont 170 mais que les X sont deux fois plus forts, les 200 hommes gagnent avec 141 survivants, haut la main. On pourrait multiplier les exemples, mais vous avez compris l’idée. Reste que ce modèle est limité, sans parler des microphénomènes qu’on classe dans l’aspect statistique des équations.
Comme dans les wargames, le modèle de Lanchester s’appuie sur des hypothèses très fortes : une efficacité constante qui ignore le terrain, le moral, la fatigue, la logistique. On n’est pas à fond tout le temps. Le fait qu’il n’y ait qu’un seul type de soldat, alors qu’en réalité c’est un peu plus compliqué… un tout petit peu. Le côté déterministe est gênant : mêmes données, mêmes résultats, on est loin des frottements de la guerre.
Mais surtout, le modèle suppose une capacité de combat utilisée au maximum à tout moment, comme si les soldats étaient mélangés uniformément dans l’espace de combat, une grosse réaction chimique. Ce n’est pas très réaliste. Mais il ne faut pas lui jeter la pierre : le but de ce modèle était de décrire les combats aériens de la Première Guerre mondiale, et de ce point de vue, ce n’était pas absurde. Bref, on est loin du modèle mathématique qui règle le combat avant qu’il ait lieu.
Désolé, la guerre n’a pas encore été résolue par une opposition de chiffres. Pourtant, ce modèle est à l’origine de nombreuses autres modélisations, ne serait-ce que par généralisation des équations. On peut ajouter des variables en jouant sur le degré d’influence du nombre de soldats de chaque camp. Il y a une expression particulière qui décrit une situation où le camp Y fait de la guérilla : ses troupes sont cachées, et les troupes X doivent tirer au hasard pour les toucher.
Moins il y a de guérilleros, moins ils ont de chances d’être touchés. On a aussi des modèles qui introduisent des probabilités, des informations, des capacités de repérage, des effets logistiques. Et il y a une proximité évidente avec le modèle de Lotka-Volterra, qui décrit les dynamiques de populations de proies et de prédateurs dans la nature. Je ne vais pas développer, mais c’est intéressant.
Il nous reste une application concrète. Oui, des mathématiciens se sont penchés sur l’utilisation du modèle de Lanchester pour reproduire les données de batailles historiques réelles : la bataille d’Angleterre en 1940, la bataille de Crète en 41, la bataille de Koursk en 43, ou même la charge de Pickett à Gettysburg durant la guerre de Sécession. On trouve même des articles sur l’application de ces équations aux combats entre chimpanzés ou entre fourmis, et même à Starcraft ou Age of Empires 2, où ça fonctionne étonnamment bien. Mais je vais vous parler de l’application la plus impressionnante : la bataille d’Iwo Jima, du 19 février au 26 mars 1945.
Petit résumé : pendant la Seconde Guerre mondiale, dans la guerre du Pacifique, la flotte américaine conquiert île par île les territoires sous contrôle japonais. Iwo Jima est une étape stratégique importante. La bataille pour l’île oppose 73 000 Américains débarqués sur plusieurs jours aux 22 000 Japonais de départ, dont il n’y aura presque aucun survivant. Les Américains comptent 26 000 pertes, dont près de 7 000 morts.
Cette bataille réunit beaucoup de critères qui vont dans le sens des hypothèses de Lanchester : zone de combat isolée, affrontements dispersés, bataille qui se termine avec un camp annihilé, et surtout des données précises sur les pertes américaines jour après jour. Un article de 1954 a déterminé les efficacités a et b à partir de ces données. On arrive au résultat que les Japonais étaient environ 5,1 fois plus efficaces que les Américains, ce qui semble logique puisqu’ils étaient en défense, avec un réseau de tunnels et de bunkers. J’ai repris les données moi-même.
La courbe du modèle colle étonnamment bien aux données réelles enregistrées par le service de santé de la Navy jour après jour. C’est impressionnant. On peut donc manipuler ce modèle pour en tirer des idées. On peut reconstruire l’évolution du nombre de soldats japonais, qu’on ne connaissait pas précisément, et on peut faire des hypothèses alternatives.
Par exemple, si les Américains n’avaient fait que leur premier débarquement de 54 000 hommes sans renforts, ils auraient subi 33 000 pertes au lieu de 26 000, et la bataille aurait duré 66 jours au lieu de 36. Un mois de retard sur le programme, c’est énorme. À l’inverse, si toutes les troupes avaient été débarquées dès le premier jour, on aurait eu 2 000 pertes en moins, mais une bataille à peine plus rapide, terminée en un jour de moins. L’effort logistique d’un immense débarquement aurait donc surtout servi à épargner des hommes.
On peut aussi faire arriver tous les renforts américains au jour 6, ce qui change peu de choses, ou au jour 18, et là on a 12 % de pertes en plus et une bataille de 47 jours. On remarque aussi l’effet des renforts sur les troupes japonaises. Enfin, on peut se demander combien de Japonais il aurait fallu au départ pour gagner la bataille, dans les mêmes conditions. On obtient une égalité avec 31 1360 Japonais au lieu des 22 000 réels, et la bataille dure alors plus de 100 jours.
Ce scénario n’est pas réaliste dans sa dynamique, mais au-delà de ce seuil, les Japonais gagnent. S’ils avaient été 33 000, soit 50 % de plus, la bataille durerait 75 jours, tous les Américains seraient anéantis, et seuls 10 000 Japonais en réchapperaient. On pourrait multiplier les essais, mais on est déjà pas mal. Bien sûr, il faut prendre beaucoup de recul sur la confiance qu’on peut accorder à ces courbes.
La dynamique de la bataille d’Iwo Jima varie énormément selon les hypothèses de départ. Ce n’est pas d’une solidité incroyable. Mais voilà, je n’ai pas pu résister à vous présenter ce modèle et cette application aussi impressionnante. Si ça vous a intéressé, dites-le-moi, parce que j’ai un ami qui est très chaud pour explorer les extensions de ce modèle.
C’est d’ailleurs lui qui m’a sorti les graphes, donc on peut tous le remercier. On pourrait préciser les variables, les mathématiques utilisées, et aborder comment et pourquoi les modèles sont construits. Voilà, c’est la fin de cet épisode. J’espère qu’il vous a plu.
Dites-moi si la partie mathématique était trop technique ou si ça allait, et on verra si on continue sur cette lancée dans des épisodes spéciaux. En tout cas, je vous remercie de m’avoir écouté et je vous souhaite une bonne journée.
